Logične uganke, matematične zanke

Logične uganke, matematične zanke

(e-učna pot)

Avtor: Tinka Majaron in Sabina Tamše

Težavnost: od 7. do 9. razreda OŠ

Predvideni čas: 10-20 min

(abakus.jpg)

Abak(us) – plošča za mehanično računanje.

Naprej

Matematika je poseben jezik, ki smo si ga izmislili ljudje, in je bil na začetku namenjen opisovanju naravnih pojavov. Že starodavna ljudstva so poznala matematiko. Pomen takrat zapisanih znakov razumemo še danes, zato lahko rečemo, da je matematika občeloveška. Ni pomembno, kateri jezik govoriš, matematični problem lahko rešiš v slovenščini ali pa v hindujščini, ker ga v resnici rešuješ v splošnem matematičnem jeziku!

Zato matematika povezuje vse ljudi sveta ne glede na jezik. V Afriki, Ameriki, Aziji, Avstraliji in Evropi je 2 + 2 = 4.

(ilustracija.jpg)

Ilustracija znane Alcuinove uganke o prečkanju reke. V uganki mora popotnik na enak način na drugo stran prepeljati volka, kozo in veliko glavo zelja (s sabo lahko naenkrat vzame le volka, le kozo ali le zelje, saj je čoln narejen za dva). Volk seveda lahko poje kozo, koza pa zelje. Kako bo popotnik prečkal reko?

Naprej

Matematika je natančna veda, za katero bi lahko zelo poenostavljeno rekli, da raziskuje vzorce. Matematika je bila od nekdaj vpeta v preučevanje naravnih pojavov, a je vedno bila hkrati tudi del vsakdanjega življenja.

Danes je veliko ljudi, ki se jim zdi, da matematike ne potrebujejo. Kako neresnična je ta trditev v vsakdanjem življenju! Morda res ne potrebujejo znanja višje matematike, a brez matematike ne gre. Koliko otrok gre na izlet − verjetno je dobro, da se jih ravno toliko z izleta tudi vrne, kaj misliš? Koliko dodatnih malic lahko dobiš, če pet sošolcev zboli, en odvečen krof želi sošolec, enega bo ukradla šolska miš, par jih vedno izgine neznano kam?

No, tole zadnje je čista matematika z logiko, kakršen je tudi naslov te teme.

Čar je v tem, da lahko z matematiko in logičnim sklepanjem razložimo (skoraj) vse okoli nas. In tokratna učna pot ti bo poskušala razkriti nekaj te čarobnosti!

Paaazi, začetek! Stopnja: Ogrevanje (1 od 20)

Pozorno si oglej film in se pripravi na razgibavanje svojih sivih celic!

Naprej

Stopnja: Ogrevanje (2 od 20)

V filmu izveš, da se nič ne premika tako hitro kot svetloba. Risanček Einstein prikaže poskus: žogo odloži na tekoči trak, ki se premika s hitrostjo 5 m/s. Tudi žoga se na traku giblje s hitrostjo 5 m/s. Potem odloži žogo na tekoči trak tako, da se žoga že na začetku premika 2 m/s. Če seštejemo obe hitrosti, se žoga zdaj premika 7 m/s. Potem navidez prižge luči v obeh žogicah, od katerih se prva premika s hitrostjo 5 m/s, druga pa s 7 m/s. Se ti je zdelo, da bo svetloba prve žogice potovala počasneje od svetlobe druge? Ker je svetlobna hitrost največja mogoča hitrost, se je ne more pohitriti.

S kakšno hitrostjo se premika svetloba? Odgovor je bil v filmu,, a če ti je ušel, ga lahko najdeš tudi v besedilu na tej spletni strani, ampak ne na prvo žogo, res preberi!

Preveri

Tako je. Albert Einstein je bil tisti, ki je ugotovil, da je svetlobna hitrost največja mogoča hitrost, ki jo je mogoče v vesolju doseči. Še vedno pa ne vemo, kako bi dosegli potovalno hitrost, ki bi bila blizu svetlobni hitrosti...

Naprej

Hm, če malce pohitriš misli, se ti zdi, da bi te potem lahko potovale s svetlobno hitrostjo, torej s 300.000 km/s?

Nazaj na ogled filma

Ponovi

Stopnja: Ogrevanje (3 od 20)

(einstein.jpg)

Kdo je znanstvenik, ki nastopa v filmu?

V pomoč ti je lahko tudi znamenita enačba: E = mc² (energija je masa telesa pomnožena s hitrostjo svetlobe na kvadrat)

To je najznamenitejša enačba fizike!

Znanstvenik je bil znan tudi po tem, da je vse življenje odpisoval na pisma oboževalcev, med katerimi so bili tudi otroci. Tako je leta 1943 takole odgovoril dekletu, ki mu je pisalo, da ima težave pri matematiki:

“Naj te ne skrbi, če imaš težave z matematiko. Zagotavljam ti, da so moje še večje.”

Kdo je bil omenjeni znanstvenik?

Preveri

Bravo! Še ena Einsteinova izjava, ki je zanimiva: Nimam posebnih talentov, sem samo strastno radoveden.

Naprej

Uh, morda vklopiš možgane kot Einstein?

Ponovi

Stopnja: Še vedno ogrevanje (4 od 20)

Preden pa je Einstein prišel do svoji odkritij, se je zgodilo v matematiki in drugih znanostih veliko odkritij ...

(rhindov_papirus.jpg)

Rhindov papirus

Matematika ni veda, ki bi jo na novo izumili. Že v pradavnini so jo poznali v preprosti obliki, ko je bilo treba na primer prešteti morebitni plen ali oceniti, kakšna nevarnost preži na drugi strani hriba. O uporabi štetja pričajo zareze v kosti, stare več kot 30.000 let, ki so jih našli v Afriki in vzhodni Evropi.

Najzgodnejši zapisi o poznavanju števil so iz starodavne Sumerije. Števila so vrezana v tablice iz gline v obliki klinastih znakov (klinopisa)

Matematiko so poznali tudi stari Egipčani. Najboljši dokaz za to so znamenite piramide, zgrajene pred 4500 leti. Iz tega obdobja je ohranjen tudi Rhindov papirus (star skoraj 4000 let). Vsebuje preglednice, ki so jih stari Egipčani uporabljali kot pripomoček pri izračunih (za množenje).

Kaj je v matematiki osnova deljenja in množenja, tako kot je abeceda osnova za branje in pisanje? To je .

Preveri

Odlično, brez osnov ni nič! Da pa ne bo vse skupaj prelahko, bo šlo od zdaj naprej bolj zares.

Naprej

Mja, če te bo en par podgan pričakal na severu, dva krokodila na jugu, par jastrebov na vzhodu in par lačnih levinj na zahodu, ne bo slabo, če jo boš hitro ucvrl, ko boš zmnožil število plenilcev ... Ponovi poštevanko in vpiši odgovor!

Ponovi

Stopnja: Zdaj gre že skoraj zares (5 od 20)

(mat_vstopna.jpg)

Si želiš, da bi računal hitreje od kalkulatorja? Na povezavi te čaka nekaj čarobnih piramidnih pravil, s katerimi se boš lahko pobahal pred prijatelji.

Oglej si filmček in razporedi izračune, da bo prav.

1234 x 8 + 4 =
123456 x 9 + 7 =
9876 x 9 + 4 =
11111111 x 11111111 =
9876
1111111
88888
123456787654321

Preveri

Odlično! Piramida iz številk je pa precej fascinantna, kajne?

Naprej

Hm, morda pa si lahko pomagaš z žepnim kalkulatorjem?

Ponovi

Stopnja: Zdaj gre že skoraj zares (6 od 20)

(vega.jpg)

Ugotovili smo, da tudi v matematiki obstajajo različni pripomočki za izračunavanje. Ti zmorejo bolj ali manj zapletene računske operacije. Že pred nekaj stoletji, ko še ni bilo računalnikov, je bil avtor enega takega pripomočka tudi slovenski matematik, po katerem se imenuje šolsko tekmovanje iz matematike.

Njegovo najpomembnejše delo je nastalo v Leipzigu leta 1794, imenuje pa se Zakladnica vseh logaritmov (Thesaurus logarithmorum completus).

Kdo je bil ta matematik?

Preveri

Brihtna glavca, Vegovo tekmovanje je odličen preizkus matematičnega znanja. Kar tako naprej!

Naprej

Ne, ne, ne! Morda si pa pomagaš s povezavo in poskusiš še enkrat?

Ponovi

Stopnja: Zdaj gre že skoraj zares (7 od 20)

(bankovci.jpg)

Sedaj pa poglejva, kako dobro ti gre od rok računanje in logično mišljenje brez povezav in kalkulatorjev! Pridi, greva k bolj življenjskim računom.

Janko in Metka sta vsak na svoji banki začela varčevati za gorsko kolo. Janko je v enem letu privarčeval 100 evrov, Metka pa kar 200 evrov. Oba sta dobila 10 evrov obresti.

Na kateri banki se bolj splača varčevati – na Jankovi ali Metkini?

Preveri

Res je! Janko je dobil eno desetino (10 %) obresti, Metka pa le eno dvajsetino (5 %).

Naprej

Še malo premisli. Kolikšen delež privarčevanega zneska predstavljajo obresti? Kateri je večji? Aja, doma v nogavici pa obresti niso prav visoke, razen če se ne množijo kakšne bakterije!

Ponovi

Stopnja: Zdaj gre že skoraj zares (8 od 20)

Lepo je imeti dovolj denarja, a še lepše je biti popolnoma zdrav med pravimi prijatelji. Prav vsi si želimo, da bi bili srečni. Toda sreča vsakemu pomeni nekaj drugega.

(deteljica.jpg)

Matematika je natančna veda, zato se zdi, da v njej ni prostora za srečo. Pa ni tako! Obstajajo čisto prava srečna števila. Na povezavi preberi, katera števila so to. Animacijo, ki prikazuje opisani postopek, si lahko ogledaš pri angleški razlagi srečnih števil (angl. lucky numbers).

V matematiki najdemo tudi popolna in prijateljska števila. Le-ta so povezana z delitelji.

Za osvežitev spomina zapišimo delitelje števila 6: po velikosti so 1, 2, 3 in 6. Pravi delitelji so različni od števila samega, pri 6 so to 1, 2 in 3. Popolno število je enako vsoti svojih pravih deliteljev. Najmanjše popolno število je 6, saj je 6 = 1 + 2 + 3.

Števili sta prijateljski, če je prvo enako vsoti pravih deliteljev drugega in obratno − drugo je enako vsoti pravih deliteljev prvega. Najmanjši par prijateljskih števil je 220 in 284.

Poveži števila z njihovo posebnostjo.

25
28
220
srečno število
popolno število
prijateljsko število

Preveri

Bingo! 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

Naprej

Ups, ne bo prav! Preberi nalogo še enkrat in razmisli, uspelo ti bo!

Ponovi

Stopnja: Zdaj gre zares (9 od 20)

(eratosthen.png)

Grški matematik Eratosten. Vir: wikipedia.

Z delitelji so povezana še ena zelo pomembna števila, to so praštevila. Praštevilo je število z natanko dvema deliteljema – z enko in s samim seboj. Število, ki ima več kot dva delitelja, se imenuje sestavljeno število.

Oglej si filmček na povezavi. Prikazuje postopek za iskanje praštevil, ki se po grškem matematiku Eratostenu imenuje Eratostenovo sito. Ko po vrsti izločamo večkratnike praštevil, nam na koncu ostanejo le praštevila (angl. prime numbers).

Katera tri od spodnjih števil so praštevila?

Preveri

Super! Število 1 pa je prav posebno število, saj ni niti praštevilo niti sestavljeno število.

Naprej

Imajo res vsi natanko dva delitelja? Poskusi še enkrat.

Ponovi

Stopnja: Zdaj gre zares (10 od 20)

(enigma.jpg)

Nemška šifrirna naprava ENIGMA. Vir: wikipedia.

Videli smo, da iskanje praštevil ni enostavno, še posebej zelo velikih. Dandanes iščejo nova praštevila z najzmogljivejšimi računalniki. Ker je za zelo veliko število težko povedati, ali je praštevilo ali sestavljeno število, se praštevila uporabljajo tudi za šifriranje.

O šifriranju je nastala cela znanost, imenuje se kriptografija. Na povezavi si preberi e-um gradivo o kriptografiji (v meniju izbereš Devetletka –> Medpredmetno – >Matematika dodatno -> Kriptografija). Znaš razbrati spodnje geslo?

AJNANZ OLIS IBAROPU

Odgovor vpiši v okvirček.

Preveri

Si pravi veselošolec in odlično uporabljaš svojo silo znanja!

Naprej

Hej, si v Veseli šoli, uporabi silo znanja, tudi dobesedno, od črke do črke, prebrano nazaj!

Ponovi

Stopnja: Zdaj gre zares (11 od 20)

(rubik.jpg)

Znamenita Rubikova kocka, mehanska uganka in igrača, ki jo je leta 1974 izumil madžarski izumitelj Ernő Rubik.

Kakšen podatek lahko zakodiramo tudi z matematično uganko. Veliko ugank lahko najdeš tudi na tej strani, tukaj pa je ena samo zate.

Franci je doma na kmetiji. Tam imajo krave in kokoši, skupaj 25 živali. Ko so ga vprašali, koliko imajo krav in koliko kokoši, jim je odgovoril, da imajo živali skupaj 60 nog.

Hecno šifro si je izbral. Jo znaš razbrati? Koliko je kokoši in koliko krav? Vnesi pravo številko.

(kokos.jpg)

=

(krava.jpg)

=

Preveri

Odlično ti gre, kar pogumno naprej!

Naprej

Če bi vseh 25 živali imelo le dve nogi, bi bilo skupaj 50 nog. Kam moraš dati preostalih 10 nog?

Ponovi

Stopnja: Zdaj gre zares (12 od 20)

(vstopna_2.jpg)

Vsaka uganka ima svoj ključ.

Ko smo ravno pri ugankah, hitro rešimo še eno. Ugotoviti moraš, kaj je ključ določenega zaporedja.

Katero število je naslednje? Poveži, da bo prav.

3, 14, 25, 36, 47
21, 16, 11, 6, 1
2, 4, 6, 10, 16, 26
1, 8, 27, 64, 125
58
–4
42
216

Preveri

Bravo, si pravi matematični genij!

Naprej

Kaj se dogaja s števili? Se kaj prišteje ali odšteje, se s čim množi, se jih potencira? Poskusi znova, zdaj bo gotovo šlo!

Ponovi

Stopnja: Zdaj gre zares (13 od 20)

(fibonacci.jpg)

Leonardo Fibonacci, znameniti matematik.

(ananas.gif)

Fibonaccijevo zaporedje v naravi.

Čas je za prav posebno zaporedje števil – za Fibonaccijeva števila.

Fibonacci je živel v poznem srednjem veku. Imel je velik vpliv na razvoj evropske matematike. Prvi v Evropi je uporabil številke, ki jih danes poznamo kot arabske številke.

Več o njegovih čudovitih številih, ki so tesno povezana z naravo, si preberi na povezavi: v meniju izberi Devetletka –> Medpredmetno –> Matematika dodatno –> Fibonacci in narava.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...

Prepoznaš pravilo? Naslednje število dobimo tako, da zadnji dve števili:

Preveri

To je zate otročje lahko, bravo!

Naprej

Ne se hecat v Veseli šoli, hitro seštej dva in dva oziroma kar pač že moraš, pa bo uganka rešena!

Ponovi

Stopnja: Bližaš še velikemu finalu! (14 od 20)

(soncnica.jpg)

Sončnično seme v spiralah, ki tvorijo Fibonaccijevo zaporedje.

Čarovnijo Fibonaccijevih števil si lahko ogledaš tudi v filmčku. Mogoče pa matematika res ni dolgočasna pedantna veda, hmm?

Osvežimo spomin, da si bomo zapomnili Fibonaccijeva števila. Katero je enajsto Fibonaccijevo število? Če ne gre drugače, si jih še enkrat zapiši; začne se z 1, 1, 2, potem pa seštevaš v neskončnost!

Preveri

Super, si pravi poznavalec Fibonaccijevih števil!

Naprej

Ups! Poskusi ponovno, saj ni tako težko.

Ponovi

Stopnja: Veliki finale (15 od 20)

(vesela1.png)

V filmčku smo videli, da so Fibonaccijeva števila povezana tudi z geometrijo. Juhej, čas za geometrijsko nalogo!

Oglej si sliko. Označene dolžine so v centimetrih. Koliko meri diagonala AB pravokotnika na sliki?

Preveri

Genialno! AB meri toliko kot polmer kroga.

Naprej

Druga diagonala je enako dolga in hkrati predstavlja polmer kroga. Veš, koliko ta meri?

Ponovi

Stopnja: Veliki finale (16 od 20)

(escher.jpg)

M. C. Escher je nizozemski umetnik iz 20. stoletja, znan po tako imenovanih nemogočih strukturah. Na sliki delo Relativnost. Vir: wikipedia.

V malo primerih se na prvi pogled zdi, da geometrija laže. Oglej si sliko na povezavi.

Kako je mogoče, da je pri drugačni razporeditvi nastala luknja?!

Preveri

Res je! Rdeči trikotnik ima malo manjši naklon od temno zelenega, zato je na prvi sliki navidez ravna črta v resnici malo vdrta, na drugi sliki pa malo izbočena. Razlika v površini je ravno en kvadratek.

Naprej

Hej, ne se hecat, škratje živijo drugje, razmisli in ponovi vajo!

Ponovi

Stopnja: Veliki finale (17 od 20)

(opticna_iluzija_1.png)

So premice na sliki vzporedne ali ne?

Geometrija seveda ne laže, le naše oko včasih kaj narobe zazna. Temu se reče iluzija iluzija (angl. illusion).

Na svetovnem spletu takšnih iluzij kar mrgoli. V filmčku si lahko ogledaš še eno, ki se na koncu sama razkrinka.

Da včasih res ne vidimo prav, se lahko prepričaš tudi na povezavi (stran je v angleščini). Vidimo, da sta na prvi pogled povsem drugačni mizi v resnici čisto enaki.

Oglej si še več podatkov o optičnih iluzijah.

Zakaj v nevrobiologiji uporabljajo optične iluzije?

Preveri

Seveda, to je odličen pripomoček za raziskovanje človeškega uma!

Naprej

Si pa res en Rožle! ;) Oglej si povezavo in popravi odgovor.

Ponovi

Stopnja: Veliki finale (18 od 20)

(melanholija_1.jpg)

Litografija Melanholija I., magični kvadrat reda 4, delo Albrechta Dürerja. Vir: wikipedia.

(kvadrat_5.jpg)

Magični kvadrat 3 x 3.

Če združimo geometrijo in števila, lahko dobimo čisto pravi magični kvadrat. Magične kvadrate lahko najdemo v zgodovini številnih kultur, na primer na Kitajskem, v Egiptu in v Indiji, zapisane na papiruse, vklesane v kamen ali kovino. Včasih so verjeli, da imajo magično moč. Več o magičnih kvadratih (in rešitev spodnje naloge) te čaka na povezavi (nepregledna splošna pravila kar preskoči).

V kvadrat postavimo števila, tako da je v vseh vrsticah, v vseh stolpcih in na obeh diagonalah vsota števil enaka. V filmčku lahko vidiš, kako se sestavi magični kvadrat velikosti 4 krat 4 in da lahko enako vsoto števil dobimo še kje drugje.

Poskusi sestaviti magični kvadrat s števili od 1 do 9, to je velikosti 3 krat 3.

Velja 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45. Na sredini mora biti število 5.

Koliko bo vsota števil v vseh vrsticah, v vseh stolpcih in na obeh diagonalah? S številko vpiši pravo vsoto:

Preveri

Seveda, magija in kvadrati ti gredo super od rok in iz glave! Ena od možnih rešitev je lahko takšna.

(resitev_kvadrat.png)

Naprej

Rabiš kalkulator? Ne se hecat, razmisli in poskusi še enkrat.

Ponovi

Stopnja: Še malo – pa konec! (19 od 20)

Reši to angleško nalogo, če se učiš angleščino. Če se učiš nemščino, klikni gumb Nemška naloga in reši nalogo v nemščini!

Nemška naloga

Look at the pictures below. What do you see? Drag the words to the pictures.

a musician or a woman
a letter
a young girl or a man
a duck or a rabbit
a word

Preveri

Excellent! Well done!

Naprej

Sorry, that’s not it! Try again!

Ponovi

Stopnja: Še malo – pa konec! (19 od 20)

Reši to nemško nalogo, če se učiš nemščino. Če si angleško nalogo že rešil in nemško ne znaš, klikni gumb Naprej.

Naprej

Siehe dir die Bilder an. Was siehts du? Ziehe die Wörter zu den Bildern.

Ein Instrument; eine Frau
Ein Buchstabe
Ein Mädchen; ein Mann
Ein Hase; eine Ente
Ein Wort

Preveri

Super, das hast du gut gemacht!

Naprej

Leider falsch! Verscuh noch einmal!

Ponovi

Stopnja: Zadnji korak in … (20 od 20)

(jajca.jpg)

Učna pot po čarobni matematiki se tukaj konča. Na zadnji postaji je še ena naloga − malo za šalo in malo zares.

Eno trdo kuhano jajce se kuha 10 minut. Koliko časa se kuha 10 trdo kuhanih jajc?

Preveri

Tebe se pa res ne da nahecat! Odlično, uporabljaj tole svojo brihtno glavco tako še naprej. Vpiši še svoj naslov za morebitno nagrado in se vidimo prihodnjič!

Naprej

Ali več jajc v loncu res podaljša čas kuhanja? Ne delaj se norca, vsa jajca v posodo, potem pa le 10 minut kuhanja za vse skupaj ... Sicer bo mama, babi, ata ali stric zeeeelo hud!

Ponovi

Ne prezrite: Imaš tudi vi več vprašanj, kot je odgovorov? Tv program da Vinci Learning - ker je užitek vedeti več.